Hypothesentest
Inhaltsverzeichnis
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Aufgabe 1 – Signifikanztest
\(x\) beschreibt die Anzahl der Personen, die eine reservierte Fahrt antreten, und ist binomialverteilt mit \(n=64\) .
Wir wollen die Behauptung der Geschäftsführerin \(p < 0.9\) stützen und formulieren
\(h_1 : \, p < 0{,}9\) als zu beweisende Hypothese
\(h_0 : \; p \geq 0{,}9\) als Nullhypothese, mit der wir arbeiten
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Ferner gilt
\( \quad \begin{array}{ l } \mu = n \cdot p = 64 \cdot 0{,}9 = 57{,}6 \\[6pt] \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{64 \cdot 0{,}9 \cdot (1-0{,}9)} = 2{,}4 \\[6pt] \alpha = 2{,}5 \% = 0{,}025 \\ \end{array} \)
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Bei einem Signifikanztest können wir nicht unmittelbar ermitteln, in welchem Intervall \(h_1\) gilt. Denn es ist nicht ausgeschlossen, dass \(h_0\) dort auch gilt. Vielmehr gehen wir indirekt vor und ermitteln zunächst, in welchem Bereich \(h_0\) nicht gilt und schließen darauf, wie der Annahmebereich für \(h_1\) lautet.
Wir werden also die gegenteilige Hypothese, die Nullhypothese, ausschließen um damit die Behauptung der Geschäftsführerin zu stützen. Die Nullhypothese liegt rechts von \(h_1\) und wird nach links durch Grenze \(k\) von dieser abgegrenzt. Der Verwerfungsbereich von \(h_0\) liegt links, hier blau eingefärbt. Es handelt sich hier also um einen linksseitigen Test. Es liegt also Folgendes vor:
\( \quad V=[ 0 ; k ]\quad \textit{und} \quad A=[ k+1 ; 64 ] \)
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Es gilt nun
\( \quad P(x \leq k) \leq 0{,}025 \)
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womit wir die obere Grenze \(k\) des Verwerfungsbereichs ermitteln werden. Dies können bei der Binomialverteilung nur durch probieren erreichen. Verwenden wir jedoch die Näherung mit der Normalverteilung,
\(\\\) so können wir mithilfe der Integralrechnung, oder genauer gesagt mit der Stammfunktion von \(\varphi(z)\), die Grenze \(k\) rechnerisch ermitteln. Es gilt dann
\( \quad \begin{array}{ r c l } \Phi(z) & \leq & 0{,}025 \\[6pt] \Phi\left(\frac{k - \mu}{\sigma}\right) & \leq & 0{,}025 \\ \end{array} \renewcommand{\arraystretch}{1} \)
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Wie wir in der Binomialverteilung sehen, reicht der Verwerfungsbereich bis zum Ende des \(k\)-ten Streifens bei einer Streifenbreite von \(1\). Wir korrigieren also
\( \quad \begin{array}{ r c l } \Phi\left(\frac{(k+0{,}5) - \mu}{\sigma}\right) & \leq & 0{,}025 \\ \end{array} \)
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Nun berechnen wir mit der inversen Normalverteilung
\( \quad \begin{array}{ r c l l } k + 0{,}5 & = & \Phi_{\mu ; \sigma}^{-1}(0{,}025) & \\[6pt] k + 0{,}5 & = & \Phi_{57{,}6 ; 2.4}^{-1}(0{,}025) & \\[6pt] k + 0{,}5 & = & 52{,}9 & | \; -0{,}5 \\[6pt] k & = & 52{,}4 & \\ \end{array} \)
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Wir bekommen den Annahmebereich und den Verwerfungsbereich von \(h_0\) mit
\( \quad V=[0 ; 52] \quad \textit{und} \quad A=[53 ; 64] \)
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Entscheidungsregel:
Haben wir bei dieser Stichprobe höchstens \(52\) Personen, die eine reservierte Fahrt antreten, so kann mit \(2{,}5 \%\)-iger Irrtumswahrscheinlichkeit (Signifikanzniveau) bzw. mit \(97{,}5 \%\)-iger Sicherheit die Hypothese der Geschäftsführerin, dass die Wahrscheinlichkeit eine reservierte Fahrt anzutreten, weniger als \(90 \%\) ist, gestützt werden. Bei mehr als \(52\) Personen muss diese Hypothese verworfen werden.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 2 – vier Fahrten
\(x\) beschreibt die Anzahl der Personen, die eine reservierte Fahrt antreten, und ist binomialverteilt mit \(>n=256\) beschreibt.
Die Hypothesen lauten
\(h_1 : \, p < 0{,}9\) als zu beweisende Hypothese
\(h_0 : \; p \geq 0{,}9\) als Nullhypothese, mit der wir arbeiten
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und es gilt
\( \quad \begin{array}{ l } \mu = n \cdot p = 256 \cdot 0{,}9 = 230{,}4 \\[6pt] \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{256 \cdot 0{,}9 \cdot (1-0{,}9)} = 4{,}8 \\[6pt] \alpha = 2{,}5 \% = 0{,}025 \\ \end{array} \)
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Wieder gilt der Verwerfungsbereich \(V=[0;k]\) und wir berechnen \(k\) mit
\( \quad \begin{array}{ r c l l } P(x \leq k) & \leq & 0{,}025 & \\[6pt] \Phi\left(\frac{(k+0{,}5) - \mu}{\sigma}\right) & \leq & 0{,}025 & \\[6pt] k + 0{,}5 & = & \Phi_{230{,}4 \; ; \; 4{,}8}^{-1}(0{,}025) & \\[6pt] k + 0{,}5 & = & 220{,}99 & | \; -0.5 \\[6pt] k &= & 220{,}49 & \\ \end{array} \)
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Der Verwerfungsbereich lautet also \(V=[0;220]\). Die Summe der zur Fahrt antretenden Personen aus den vier Fahrten lautet \(219\) und liegt somit im Verwerfungsbereich.
\(\\[2em]\)
Aufgabe 3 – Aussagen
Für die erste Aussage gilt
\( \quad \begin{array}{ r c l l } E(X_c) &= & c \cdot E(X_1) & , \; \textit{f}\ddot{u}\textit{r alle} \; c \geq 2 \\[6pt] c \cdot n \cdot p & = & c \cdot (1 \cdot n \cdot p) & \\[6pt] c \cdot n \cdot p & = & c \cdot n \cdot p & \\ \end{array} \)
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Diese Aussage ist allgemeingültig und damit wahr für alle \(n\) und \(p\) .
Weiter versuchen wir die Aussage
\( \quad P(X_1 \leq k) \; = \; P(X_c \leq c \cdot k) \)
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mit einem konkreten Beispiel zu widerlegen. Wir wählen
\( \quad \begin{array}{ r c l } n & = & 4 \\[6pt] k & = & 3 \\[6pt] p & = & 0{,}5 \\[6pt] c & = & 2 \\ \end{array} \)
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Wir erhalten
\( \quad P_{4 \; ; \; 0{,}5}(X_1 \leq 3) \; = \; 0{,}9375 \)
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und
\( \quad P_{2 \cdot 4 \; ; \; 0{,}5}(X_2 \leq 2 \cdot 3) \; = \; P_{8 \; ; \; 0{,}5}(X_2 \leq 6) \; = \; 0{,}59648 \)
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Damit gilt
\( \quad P(X_1 \leq k) \; = \; P(X_c \leq c \cdot k) \)
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nicht immer. Diese Aussage ist also falsch.
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